Pendant des milliers d’années, les mathématiciens ont résolu des problèmes sans jamais écrire x + 5 = 12. Ils utilisaient simplement des mots et écrivaient des phrases. Les lettres de l’alphabet existaient déjà, mais personne n’avait encore eu l’idée de les utiliser pour représenter des nombres, qu’ils soient connus ou inconnus.
Alors, comment est née cette idée de remplacer les mots par des lettres ?
C’est ce que je vous propose de découvrir ici.
Bonne lecture !
les premiers textes mathématiques
Les premiers textes mathématiques conservés remontent à près de 4 000 ans. Les plus anciens nous viennent principalement d’Égypte et de Mésopotamie. À cette époque, les mathématiques servent avant tout à résoudre des problèmes très concrets : partager des récoltes, mesurer des terrains, construire des bâtiments ou gérer le commerce.
Pourtant, si l’on ouvre l’un de ces textes, on ne trouve ni x, ni y, ni même une seule lettre représentant un nombre. Les problèmes sont entièrement rédigés avec des mots et des phrases, comme de véritables récits.
Voici par exemple un extrait du Papyrus Rhind. Ce manuscrit a été recopié vers 1550 avant notre ère par le scribe Âhmès à partir d’un document plus ancien, datant probablement d’environ 1850 av. J.-C., sous le règne d’Amenemhat III.
« Problème 64 : Exemple de répartition de parts. Si on te dit 10 hekat de blé pour 10 hommes. Et la différence entre un homme et son voisin est 1/8 de hekat de blé. La répartition moyenne est de 1 kehat. Soustrais 1 de 10, il reste 9. Prends la moitié de la différence qui est 1/16. Les 9 fois qui valent ½ de 1/16 de hekat sont additionner à la répartition moyenne et tu dois soustraire 1/8 de hekat par homme, chacun pris jusqu’au dernier. »
On y découvre un problème de répartition de blé entre plusieurs hommes. Rien ne ressemble encore à une équation : tout est écrit avec des mots… et, je suppose que comme moi, vous n’y comprenez pas grand-chose au premier abord ! 😊
Pourtant, derrière ces longues phrases se cachent déjà des raisonnements étonnamment élaborés. Les Égyptiens savaient parfaitement manipuler les nombres, calculer des aires ou partager des récoltes. Ils n’avaient simplement pas encore notre manière d’écrire les mathématiques.
Des équations avant l’heure
Les Égyptiens n’étaient pas les seuls à résoudre des problèmes de cette manière. En Mésopotamie, les Babyloniens avaient eux aussi développé des méthodes étonnamment efficaces.
Les archéologues ont retrouvé des milliers de tablettes d’argile couvertes de signes cunéiformes. Certaines sont de véritables manuels de mathématiques. Elles proposent des problèmes, expliquent leur résolution et donnent même parfois des exercices.
Certains de ces problèmes nous surprennent encore aujourd’hui. Derrière leurs longues descriptions se cachent parfois… des équations du second degré.
Par exemple, la célèbre tablette YBC 6967, dont l’énoncé est (traduction moderne) :
J’ai additionné la surface d’un carré et dix fois son côté. J’obtiens 39.
La surface d’un carré, c’est côté fois côté, autrement dit côté au carré.
On obtient donc ici : le côté au carré, additionné à dix fois le côté, est égal à 39.
C’est bien une équation du second degré… et les Babyloniens savaient déjà la résoudre !
Je vous épargne la méthode, un peu trop mathématique pour notre histoire. 😊
Les Babyloniens étaient donc capables de résoudre des problèmes très élaborés sans utiliser la moindre lettre. Pendant de nombreux siècles, personne ne ressentit le besoin de changer cette façon d’écrire les mathématiques et, dans de nombreuses civilisations, les progrès continuèrent.
Pourtant, une autre manière de faire allait peu à peu voir le jour. Une idée toute simple, mais révolutionnaire : remplacer les longues descriptions par un mot.
Naissance de l’algèbre
Il faudra attendre le IXᵉ siècle pour qu’un savant perse donne un nouvel élan à cette discipline : Muhammad ibn Mūsā al-Khwarizmi.
Vers 820, il rédige un ouvrage qui va profondément marquer l’histoire des mathématiques : Le Livre abrégé du calcul par la restauration et la comparaison. Ce titre peut sembler étrange aujourd’hui, mais il contient un mot appelé à un grand avenir : al-jabr.
En arabe, al-jabr désigne l’une des opérations utilisées pour résoudre une équation : déplacer un terme d’un côté à l’autre afin de supprimer les quantités négatives. Lorsque son livre est traduit en latin, ce mot devient algebra… puis algèbre en français.
Pourtant, si vous ouvrez le livre d’Al-Khwarizmi, vous n’y trouverez toujours pas de x.
Comme les Égyptiens et les Babyloniens avant lui, Al-Khwarizmi rédige ses problèmes entièrement avec des mots.
« Un carré et dix de ses racines sont égaux à trente-neuf unités. »
Il simplifie l’écriture des problèmes. Au lieu de longues descriptions, il utilise désormais des mots précis. La quantité recherchée est appelée shay’, c’est-à-dire « la chose ». Son carré est nommé māl (« le carré » ou « le bien ») et son côté jidhr (« la racine »).
Les longues phrases disparaissent peu à peu… mais les lettres ne sont toujours pas là.
Utilisation des lettres
Les siècles passent. Les mathématiques continuent de progresser, mais les problèmes sont toujours rédigés avec des mots.
Puis, à la fin du XVIᵉ siècle, un mathématicien français va avoir une idée aussi simple que géniale : pourquoi écrire sans cesse « la quantité recherchée » ou « le nombre connu », alors qu’une simple lettre pourrait les représenter ?
En 1591, François Viète publie In artem analyticem isagoge (« Introduction à l’art analytique »). Il y propose d’utiliser systématiquement des lettres pour représenter les quantités connues comme les quantités inconnues.
Son choix est surprenant. Les voyelles (A, E, I…) représentent les quantités inconnues, tandis que les consonnes (B, C, D…) désignent les quantités connues. Toutes ces lettres sont écrites en majuscules.
Il écrit ainsi :
📜 Dans le texte original (1591)
“…quæsititiæ magnitudines elemento A, aliave litera vocali, E, I, O, V, Y… datas vero elementis B, G, D, aliisve consonis designando.”
Ce qui signifie :
« Les quantités recherchées seront désignées par la lettre A, ou par une autre voyelle (E, I, O, V, Y…). Les quantités données seront désignées par les lettres B, G, D…, ou par d’autres consonnes. »
Cette nouvelle écriture permet d’exprimer des méthodes générales plutôt que de résoudre chaque problème séparément.
Une révolution est en marche.
Pourtant… le célèbre x n’est toujours pas apparu.
Enfin… le x !
En 1637, René Descartes publie La Géométrie, un ouvrage qui va profondément influencer l’écriture des mathématiques.
Il reprend l’idée de François Viète d’utiliser des lettres, mais adopte une convention qui connaîtra un immense succès : les premières lettres de l’alphabet (a, b, c…) désignent les quantités connues, tandis que les dernières (x, y, z…) représentent les quantités inconnues. Toutes ces lettres sont écrites cette fois en minuscule
Pourquoi x ? Nous n’en avons pas la certitude. Il est probable que Descartes ait simplement choisi les dernières lettres de l’alphabet après avoir réservé les premières aux quantités connues.
D’ailleurs, contrairement à ce que l’on imagine souvent, Descartes n’utilise pas uniquement la lettre x. Dans La Géométrie, on rencontre très fréquemment z, parfois y, selon les problèmes étudiés. Ce qui compte, ce n’est pas la lettre choisie, mais la convention : les dernières lettres de l’alphabet désignent les quantités inconnues.
Ce qui signifie en langage actuel :
Ce que j’écris de cette manière :
z=b
z^2=-az+b^2
z^3=az^2+b^2z-c^3
z^4=az^3-c^3z+d^4, etc.
C’est-à-dire que z, que je prends pour la quantité inconnue, est égal à b ; ou que le carré de z est égal au carré de b, moins a multiplié par z ; ou que le cube de z est égal à a multiplié par le carré de z, plus le carré de b multiplié par z, moins le cube de c ; et ainsi des autres.
Près de quatre siècles plus tard, le x reste la lettre la plus célèbre des mathématiques. Chaque fois que nous écrivons x+5=12, nous utilisons, sans toujours le savoir, un héritage laissé par René Descartes.
L'histoire ne s'arrête pas là.
Au fil du temps, d’autres conventions se sont progressivement imposées. En voici quelques-unes que l’on rencontre couramment en France :
- a, b, c pour des constantes ;
- f, g, h pour les fonctions ;
- u, v, w pour les suites ou les vecteurs selon le contexte ;
- n pour les entiers naturels ;
- k pour les entiers relatifs ;
- A, B, C pour des points en géométrie ;
- z pour les nombres complexes
Les mathématiciens utilisent également des lettres grecques :
- théta pour les angles ;
- lambda pour une longueur d’onde, une valeur propre, etc.
- delta pour le discriminant
Derrière chacune de ces lettres se cache une histoire. Celle du x n’en était qu’une parmi tant d’autres.😊
